二阶域只有两个元素。
引进一个新的元素a，使之扩张成一个四阶域。下图就是四阶域的四个元素的一种表现。
这四个元素需要在加减乘除之下封闭。也就是说，a*(1+a)、a/(1+a)、1/(1+a)、1/a、a*a、(1+a)*(1+a)、-a、-(1+a)必定等于这四个元素的某一个。我们需要通过这一限制条件，确定出a的值。首先，必须明确，a不等于1。
求证：a*a*a=1。
这样，给出四阶域的另一种写法：
把步骤五和步骤一的两种写法加以对比，就会发现：
这样，我们就可以具体的写出这个四阶域：x^4-x=0的四个解。
